أبقى الثنائي برنامجهما قيد التشغيل في الخلفية لأكثر من عقد من الزمن. خلال تلك الفترة، تعرض اثنان من أجهزة الكمبيوتر من مجموعتهم المتناثرة لارتفاع درجة الحرارة وحتى النيران. قال بريتنهام: “كان هناك واحد أرسل الشرر بالفعل”. “كان ذلك نوعًا من المرح.” (وأضاف أن تلك الآلات “تقاعدت بشرف”.)
بعد ذلك، في خريف عام 2024، لفتت ورقة بحثية حول محاولة فاشلة لاستخدام التعلم الآلي لدحض حدسية الجمع انتباه بريتنهام وهيرميلر. ربما اعتقدوا أن التعلم الآلي لم يكن النهج الأفضل لهذه المشكلة بالذات: إذا كان هناك مثال مضاد لحدسية الجمع، فسيكون بمثابة “إبرة في كومة قش”، كما قال هيرميلر. “هذا ليس بالضبط ما تدور حوله أشياء مثل التعلم الآلي. إنها تدور حول محاولة العثور على أنماط في الأشياء.”
لكن ذلك عزز الشك الذي كان لدى الزوجين بالفعل، وهو أنه ربما يتمكن شبكتهما الرياضية المصقولة بعناية من العثور على الإبرة.
التعادل الذي يربط
أدرك بريتنهام وهيرميلر أن بإمكانهما الاستفادة من التسلسلات غير المعقدة التي اكتشفاها للبحث عن أمثلة مضادة محتملة لحدسية الجمع.
تخيل مرة أخرى أن لديك عقدتين أرقامهما غير المفككة هي 2 و3، وتحاول فك مجموعهما المتصل. بعد تغيير العبور مرة واحدة، تحصل على عقدة جديدة. إذا كان من الممكن تصديق التخمين الجمعي، فيجب أن يكون رقم العقدة الأصلية 5، ويجب أن يكون عدد هذه العقدة الجديدة 4.
ولكن ماذا لو كان الرقم غير المفكك لهذه العقدة الجديدة معروفًا بالفعل بأنه 3؟ وهذا يعني أن العقدة الأصلية يمكن فكها في أربع خطوات فقط، وهو ما يخالف التخمين.
قال بريتنهام: “لقد حصلنا على هذه العقدة الوسطى”. “ماذا يمكننا أن نتعلم منهم؟”
كان هو وهيرميلر يمتلكان بالفعل الأداة المثالية لهذه المناسبة من خلال مجموعة أجهزة الكمبيوتر المحمولة الخاصة بهما: قاعدة البيانات التي أمضوا العقد الماضي في تطويرها، مع حدودها العليا على الأعداد غير المعقدة لآلاف العقد.
بدأ علماء الرياضيات في إضافة أزواج من العقد والعمل من خلال التسلسلات غير المعقدة لمجموعاتهم المتصلة. لقد ركزوا على المجاميع المتصلة التي تم تقريب أرقامها غير المعقدة فقط بالمعنى الأوسع، مع وجود فجوة كبيرة بين أعلى وأدنى قيمها الممكنة. لكن ذلك لا يزال يترك لهم قائمة ضخمة من العقد التي يتعين عليهم حلها، “بالتأكيد بعشرات الملايين، وربما بمئات الملايين”، كما قال بريتنهام.
لعدة أشهر، قام برنامج الكمبيوتر الخاص بهم بتطبيق تغييرات متقاطعة على هذه العقد ومقارنة العقد الناتجة بتلك الموجودة في قاعدة البيانات الخاصة بهم. في أحد أيام أواخر الربيع، قام بريتنهام بفحص ملفات مخرجات البرنامج، كما يفعل في معظم الأيام، لمعرفة ما إذا كان قد ظهر أي شيء مثير للاهتمام. ولدهشته الكبيرة، كان هناك سطر من النص: “CONNECT SUM BROKEN”. لقد كانت رسالة قام هو وهيرميلر بتشفيرها في البرنامج، لكنهما لم يتوقعا أبدًا رؤيتها فعليًا.
