انظر إلى المشعب، المفهوم الذي غيّر الطريقة التي ينظر بها علماء الرياضيات إلى الفضاء

النسخة الأصلية ل هذه القصة ظهرت في مجلة كوانتا.

عندما نقف في وسط الحقل، يمكننا أن ننسى بسهولة أننا نعيش على كوكب مستدير. نحن صغيرون جدًا مقارنة بالأرض، بحيث تبدو مسطحة من وجهة نظرنا.

إن العالم مليء بمثل هذه الأشكال، تلك التي تبدو مسطحة لنملة تعيش عليها، على الرغم من أنها قد تكون ذات بنية عالمية أكثر تعقيدًا. يطلق علماء الرياضيات على هذه الأشكال اسم المتشعبات. لقد غيرت المتشعبات، التي قدمها بيرنهارد ريمان في منتصف القرن التاسع عشر، طريقة تفكير علماء الرياضيات في الفضاء. لم يعد مجرد إعداد مادي لأشياء رياضية أخرى، بل أصبح كائنًا مجردًا ومحددًا جيدًا يستحق الدراسة في حد ذاته.

سمح هذا المنظور الجديد لعلماء الرياضيات باستكشاف الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى بدقة، مما أدى إلى ولادة الطوبولوجيا الحديثة، وهو مجال مخصص لدراسة الفضاءات الرياضية مثل المتشعبات. أصبحت المتشعبات أيضًا تحتل دورًا مركزيًا في مجالات مثل الهندسة، والأنظمة الديناميكية، وتحليل البيانات، والفيزياء.

واليوم، يقدمون لعلماء الرياضيات مفردات مشتركة لحل جميع أنواع المشكلات. إنها أساسية في الرياضيات مثل الأبجدية بالنسبة للغة. “إذا كنت أعرف السيريلية، فهل أعرف الروسية؟” قال فابريزيو بيانكي، عالم الرياضيات في جامعة بيزا في إيطاليا. “لا. ولكن حاول أن تتعلم اللغة الروسية دون أن تتعلم اللغة السيريلية.”

إذن ما هي المتشعبات، وما نوع المفردات التي توفرها؟

الأفكار تتشكل

لآلاف السنين، كانت الهندسة تعني دراسة الأشياء في الفضاء الإقليدي، وهو الفضاء المسطح الذي نراه حولنا. قال خوسيه فيريروس، فيلسوف العلوم في جامعة إشبيلية بإسبانيا: «حتى القرن التاسع عشر، كان مصطلح «الفضاء» يعني «الفضاء المادي»»، وهو ما يماثل الخط في بعد واحد، أو المستوى المسطح في بعدين.

في الفضاء الإقليدي، تسير الأمور كما هو متوقع: أقصر مسافة بين أي نقطتين هو الخط المستقيم. مجموع زوايا المثلث يصل إلى 180 درجة. أدوات حساب التفاضل والتكامل موثوقة ومحددة بشكل جيد.

ولكن بحلول أوائل القرن التاسع عشر، بدأ بعض علماء الرياضيات في استكشاف أنواع أخرى من المساحات الهندسية، وهي مساحات ليست مسطحة ولكنها منحنية مثل الكرة أو السرج. في هذه المساحات، قد تتقاطع الخطوط المتوازية في نهاية المطاف. قد يصل مجموع زوايا المثلث إلى أكثر أو أقل من 180 درجة. وإجراء حساب التفاضل والتكامل يمكن أن يصبح أقل وضوحًا بكثير.

كافح المجتمع الرياضي لقبول (أو حتى فهم) هذا التحول في التفكير الهندسي.

لكن بعض علماء الرياضيات أرادوا دفع هذه الأفكار إلى أبعد من ذلك. كان أحدهم برنهارد ريمان، وهو شاب خجول كان يخطط في الأصل لدراسة اللاهوت – كان والده قسًا – قبل أن ينجذب إلى الرياضيات. وفي عام 1849، قرر متابعة درجة الدكتوراه تحت وصاية كارل فريدريش غاوس، الذي كان يدرس الخصائص الجوهرية للمنحنيات والأسطح، بغض النظر عن الفضاء المحيط بها.