وقالت آنا كاراياني ، عالم الرياضيات في كلية إمبريال كوليدج في لندن: “نعتقد في الغالب أن جميع التخمينات صحيحة ، لكن من المثير للغاية أن نرى أنها أدركت فعليًا”. “وفي حالة ظننت حقًا أن تكون بعيدة المنال.”
إنها مجرد بداية لصيدها والتي ستستغرق سنوات – يريدون علماء الرئاسة في نهاية المطاف إظهار الوحدة لكل سطح Abelian. لكن النتيجة يمكن أن تساعد بالفعل في الإجابة على العديد من الأسئلة المفتوحة ، تمامًا مثلما تم إثبات الوحدة للمنحنيات الإهليلجية فتحت جميع أنواع اتجاهات البحث الجديدة.
من خلال الزجاج المظهر
المنحنى الإهليلجي هو نوع أساسي من المعادلة التي تستخدم متغيرين فقط –x و ذ. إذا قمت برسم حلولها ، فسترى ما يبدو أنه منحنيات بسيطة. لكن هذه الحلول مترابطة بطرق غنية ومعقدة ، وهي تظهر في العديد من أسئلة نظرية الأرقام الأكثر أهمية. على سبيل المثال-واحدة من أصعب المشكلات المفتوحة في الرياضيات ، مع مكافأة قدرها مليون دولار لمن يثبت ذلك أولاً-حول طبيعة الحلول للمنحنيات الإهليلجية.
المنحنيات الإهليلجية يمكن أن يكون من الصعب الدراسة مباشرة. لذلك في بعض الأحيان يفضل علماء الرياضيات التعامل معهم من زاوية مختلفة.
هذا هو المكان الذي تأتي فيه الأشكال المعيارية. الشكل المعياري هو وظيفة متناظرة للغاية تظهر في منطقة منفصلة ظاهريًا للدراسة الرياضية تسمى التحليل. نظرًا لأنها تظهر الكثير من التماثلات اللطيفة ، يمكن أن تكون النماذج المعيارية أسهل في العمل معها.
في البداية ، تبدو هذه الأشياء كما لو أنها لا ينبغي أن تكون مرتبطة. لكن دليل تايلور وويلز كشف أن كل منحنى إهليلجي يتوافق مع شكل وحدات محدد. لديهم خصائص معينة مشتركة – على سبيل المثال ، مجموعة من الأرقام التي تصف الحلول لمنحنى الإهليلجي ستظهر أيضًا في شكلها المعياري المرتبط بها. لذلك يمكن لعلماء الرياضيات استخدام أشكال معيارية لاكتساب رؤى جديدة في منحنيات الإهليلجي.
لكن علماء الرياضيات يعتقدون أن نظرية طراز تايلور وويلز هي مجرد حالة واحدة لحقيقة عالمية. هناك فئة أكثر عمومية من الكائنات تتجاوز المنحنيات الإهليلجية. ويجب أن يكون لكل هذه الأشياء شريكًا في عالم أوسع من الوظائف المتماثلة مثل الأشكال المعيارية. هذا ، في جوهره ، هو ما يدور حوله برنامج Langlands.
المنحنى الإهليلجي يحتوي على متغيرين فقط –x و ذ– بحيث يمكن رسمها على ورقة مسطحة من الورق. ولكن إذا أضفت متغيرًا آخر ، ض، تحصل على سطح متعرج يعيش في مساحة ثلاثية الأبعاد. يسمى هذا الكائن الأكثر تعقيدًا على سطح Abelian ، وكما هو الحال مع المنحنيات الإهليلجية ، فإن حلوله لها بنية مزخرفة يريد علماء الرياضيات فهمها.
بدا من الطبيعي أن تتوافق الأسطح الأبيلية مع أنواع أكثر تعقيدًا من الأشكال المعيارية. لكن المتغير الإضافي يجعلهم أكثر صعوبة في إنشاء وحلولهم أكثر صعوبة في العثور عليها. إن إثبات أنهم ، أيضًا ، يرضون نظرية وحدات بدا بعيدًا تمامًا عن متناول اليد. وقال جي: “لقد كانت مشكلة معروفة بعدم التفكير فيها ، لأن الناس فكروا في الأمر وعلقوا”.
لكن Boxer و Calegari و Gee و Pilloni أرادت المحاولة.
العثور على جسر
وقال كاليغاري: “شارك جميع علماء الرياضيات الأربعة في أبحاث في برنامج Langlands ، وأرادوا إثبات أحد هذه التخمينات لـ” كائن يظهر بالفعل في الحياة الحقيقية ، بدلاً من شيء غريب “.
لا تظهر أسطح الأبيليان في الحياة الحقيقية – الحياة الحقيقية لعالم الرياضيات ، أي – ولكن تثبت نظرية النموذجية عنها ستفتح أبوابًا رياضية جديدة. وقال كاليغاري: “هناك الكثير من الأشياء التي يمكنك القيام بها إذا كان لديك هذا البيان الذي ليس لديك فرصة للقيام بخلاف ذلك”.
بدأ علماء الرياضيات العمل معًا في عام 2016 ، على أمل اتباع نفس الخطوات التي كان لدى تايلور وويلز في دليلهم على المنحنيات الإهليلجية. لكن كل واحدة من هذه الخطوات كانت أكثر تعقيدًا بالنسبة لأسطح الأبيليان.
لذلك ركزوا على نوع معين من سطح Abelian ، الذي يطلق عليه سطح Abelian العادي ، كان من السهل العمل معه. لأي سطح من هذا القبيل ، هناك مجموعة من الأرقام التي تصف بنية حلولها. إذا تمكنوا من إظهار أنه يمكن أيضًا اشتقاق نفس مجموعة الأرقام من شكل معياري ، فسيتم القيام به. ستكون الأرقام بمثابة علامة فريدة ، مما يتيح لهم إقران كل من أسطحها Abelian مع شكل معياري.
