النسخة الأصلية ل هذه القصة ظهرت في مجلة Quanta.
يمكن أن تكون أبسط الأفكار في الرياضيات هي الأكثر حيرة.
خذ إضافة. إنها عملية واضحة: واحدة من الحقائق الرياضية الأولى التي نتعلمها هي أن 1 زائد 1 يساوي 2. لكن لا يزال لدى علماء الرياضيات العديد من الأسئلة التي لم تتم الإجابة عليها حول أنواع الأنماط التي يمكن أن تؤدي إلى ذلك. وقال بنيامين بادرت ، طالب دراسات عليا في جامعة أكسفورد: “هذا واحد من أهم الأشياء التي يمكنك القيام بها”. “بطريقة ما ، لا يزال الأمر غامضًا للغاية بعدة طرق.”
عند التحقيق في هذا اللغز ، يأمل علماء الرياضيات أيضًا في فهم حدود قوة الإضافة. منذ أوائل القرن العشرين ، كانوا يدرسون طبيعة مجموعات “خالية من الملاءات”-حيث لا يضيف رقمين في المجموعة إلى الثلث. على سبيل المثال ، أضف أي رقمين فرديين وستحصل على رقم زوجي. وبالتالي فإن مجموعة الأرقام الفردية مجانية.
في ورقة عام 1965 ، طرح عالم الرياضيات غزير الإنتاج بول إيرديس سؤالًا بسيطًا حول مدى شيوع مجموعات المجموعات المجانية. ولكن لعقود من الزمن ، كان التقدم في المشكلة ضئيلة.
وقال جوليان ساهاسرابوهي ، عالم الرياضيات بجامعة كامبريدج: “إنه شيء أساسي للغاية لم يكن لدينا فهم يذكر بشكل مثير للصدمة”.
حتى شهر فبراير. بعد مرور ستين عامًا ، قام Erdős بطرح مشكلته ، وحلها Bedert. لقد أظهر أنه في أي مجموعة تتألف من أعداد صحيحة-أرقام العد الإيجابية والسلبية-هناك مجموعة فرعية كبيرة من الأرقام التي يجب أن تكون مجانية. يصل إثباته إلى أعماق الرياضيات ، وتقنيات شحذ من الحقول المتباينة للكشف عن الهيكل المخفي ليس فقط في مجموعات خالية من الملاءات ، ولكن في جميع أنواع الإعدادات الأخرى.
“إنه إنجاز رائع” ، قال Sahasrabudhe.
عالق في الوسط
عرف Erdős أن أي مجموعة من الأعداد الصحيحة يجب أن تحتوي على مجموعة فرعية أصغر خالية من الملخص. النظر في المجموعة {1 ، 2 ، 3} ، والتي ليست مجانية. أنه يحتوي على خمس مجموعات فرعية مجانية مختلفة ، مثل {1} و {2 ، 3}.
أراد Erdős معرفة مدى امتداد هذه الظاهرة. إذا كان لديك مجموعة مع مليون عدد من الأعداد الصحيحة ، ما مدى حجم مجموعة فرعية خالية من الملخص؟
في كثير من الحالات ، إنها ضخمة. إذا اخترت مليون أعداد صحيحة بشكل عشوائي ، فسيكون حوالي نصفهم غريبًا ، مما يتيح لك مجموعة فرعية خالية من الملخص مع حوالي 500000 عنصر.
في بحثه عام 1965 ، أظهر Erdős – في دليل على أنه كان على بعد بضعة أسطر ، وأشاد به من قبل علماء الرياضيات الآخرين – أي مجموعة من ن يحتوي الأعداد الصحيحة على مجموعة فرعية مجانية على الأقل ن/3 عناصر.
ومع ذلك ، لم يكن راضيا. تعامل دليله مع المتوسطات: وجد مجموعة من المجموعات الفرعية المجانية وحساب أن متوسط حجمها كان ن/3. ولكن في مثل هذه المجموعة ، يُعتقد أن أكبر مجموعات فرعية أكبر من المتوسط.
أراد Erdős قياس حجم هذه المجموعات الفرعية الخالية من الملوم.
سرعان ما افترض علماء الرياضيات أنه مع زيادة حجم مجموعتك ، ستصبح أكبر مجموعات فرعية خالية من المجموع ن/3. في الواقع ، سوف ينمو الانحراف كبير بلا حدود. هذا التنبؤ-أن حجم المجموعة الفرعية الخالية من المجموع هو ن/3 بالإضافة إلى بعض الانحراف الذي ينمو إلى ما لا نهاية ن-يُعرف الآن باسم التخمين المجاني.
