الوظيفة ذات الأسنان المنشار التي كسرت حساب التفاضل والتكامل

النسخة الأصلية ل هذه القصة ظهرت في مجلة Quanta.

حساب التفاضل والتكامل هو أداة رياضية قوية. ولكن لمئات السنين بعد اختراعها في القرن السابع عشر ، وقفت على أساس هش. كانت مفاهيمها الأساسية متجذرة في الحدس والحجج غير الرسمية ، وليس التعريفات الرسمية الدقيقة.

ظهرت مدرستان من الفكر رداً على ذلك ، وفقًا لمايكل باراني ، مؤرخ للرياضيات والعلوم في جامعة إدنبرة. كان علماء الرياضيات الفرنسيون محتوى كبيرًا لمواصلة الاستمرار. كانوا أكثر اهتمامًا بتطبيق حساب التفاضل والتكامل على المشكلات في الفيزياء – باستخدامها لحساب مسارات الكواكب ، على سبيل المثال ، أو لدراسة سلوك التيارات الكهربائية. ولكن بحلول القرن التاسع عشر ، بدأ علماء الرياضيات الألمان في هدم الأمور. لقد شرعوا في العثور على أمثلة مضادة من شأنها تقويض الافتراضات الطويلة ، واستخدموا في نهاية المطاف تلك الأمثلة المضادة لوضع حساب التفاضل والتكامل على قدم أكثر استقرارًا ودائمًا.

كان أحد هؤلاء علماء الرياضيات كارل ويرستراس. على الرغم من أنه أظهر كفاءة مبكرة للرياضيات ، إلا أن والده ضغط عليه لدراسة التمويل العام والإدارة ، مع مراعاة الانضمام إلى الخدمة المدنية البروسية. بالملل من الدورات الدراسية الجامعية ، يقال إن Weiersstrass قضى معظم وقته في الشرب والسياج ؛ في أواخر الثلاثينيات من القرن التاسع عشر ، بعد فشله في الحصول على شهادته ، أصبح مدرسًا في المدرسة الثانوية ، حيث قدم دروسًا في كل شيء من الرياضيات والفيزياء إلى الرماية والجمباز.

لم يبدأ Weiersstrass حياته المهنية كعالم رياضي محترف حتى كان عمره 40 عامًا تقريبًا. لكنه سيستمر في تحويل الحقل من خلال تقديم وحش رياضي.

أعمدة حساب التفاضل والتكامل

في عام 1872 ، نشر Weiersstrass وظيفة تهدد كل شيء يعتقد علماء الرياضيات أنهم يفهمون حساب التفاضل والتكامل. قوبل باللامبالاة والغضب والخوف ، وخاصة من العمالقة الرياضية في مدرسة الفكر الفرنسية. أدان هنري بوكاري وظيفة Weiersstrass “على أنها” غضب ضد الحس السليم “. أطلق عليه تشارلز هيرميت “شر مؤسف”.

لفهم سبب وجود نتيجة Weiersstrass “، فإنها تساعد أولاً على فهم اثنين من المفاهيم الأساسية في حساب التفاضل والتكامل: الاستمرارية والاختبار.

الوظيفة المستمرة هي بالضبط ما يبدو عليه – وظيفة لا تحتوي على فجوات أو قفزات. يمكنك تتبع مسار من أي نقطة على هذه الوظيفة إلى أي وظيفة أخرى دون رفع قلم رصاص.

حساب التفاضل والتكامل في جزء كبير منه حول تحديد مدى سرعة تغير هذه الوظائف المستمرة. إنه يعمل ، بشكل فضفاض ، من خلال تقريب وظيفة معينة مع خطوط مستقيمة غير نفر.